Фракталы в природе 9 букв. Удивительный мир фракталов. фрактал естественный графика
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
- Введение
- 1. Понятие фрактала
- 2. Классификация фракталов
- 4. Применение фракталов
- Заключение
- Список использованной литературы
Введение
Появление самоподобных математических объектов сто и более лет назад почти никого не заинтересовало, они были интересны лишь авторам этих объектов. Более того, некоторые ученые окрестили их “монстрами” и не считали, что они имеют хоть какое-нибудь отношение к реальному миру и науке.
Отношение к самоподобным математическим объектам изменилось с появлением компьютеров, когда появились первые изображения алгебраических и стохастических фракталов. Сразу после этого они заинтересовали не только математиков, но и физиков, биологов, акустиков, и всех, кто в своей работе сталкивался с природными объектами. Математиков фракталы привлекали незамысловатостью формул, которыми описываются столь сложные структуры, физиков - возможностью пересмотреть физику с новой позиции, биологов - соответствием изображений фракталов с различными биологическими объектами.
Фракталы еще не исчерпали себя, фрактальные объекты находят все в новых областях науки. Их применяют физики, биологи, социологи, экономисты и многие другие. Фракталы не изучены до конца, им находят все новое применение, изменяющие наше отношение, как к самим фракталам, так и к природе.
Объект работы - феномен фракталов.
Предмет работы - место фракталов в современной науке.
Цель работы - рассмотреть фракталы как одновременно простой и сложный феномен.
Задачи работы: рассмотреть понятие фракталов, виды фракталов, историю возникновения и изучения фракталов, применение фракталов на практике.
1. Понятие фрактала
Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х 20-го века прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы, с.5 -- М.: Институт компьютерных исследований, 2002. . Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы, с.5 -- М.: Институт компьютерных исследований, 2002. . Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature". В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.
Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.
Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.
Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому" Федер Е. Фракталы.: Мир 1991,с.67 .
Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:
1. Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
2. Является самоподобной или приближенно самоподобной.
3. Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
4. Может быть построена при помощи рекурсивной процедурыФедер Е. Фракталы.: Мир 1991,с.133 .
Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.
Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.
Фракталы -- это прежде всего язык геометрии. Однако их главные элементы недоступны непосредственному наблюдению. В этом отношении они принципиально отличаются от привычных объектов евклидовой геометрии, таких, как прямая линия или окружность. Фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур.
Эти алгоритмы трансформируются в геометрические формы с помощью компьютера. Репертуар алгоритмических элементов неисчерпаем. Овладев языком фракталов, можно описать форму облака так же чётко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии.
2. Классификация фракталов
Геометрические фракталы. Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.
Алгебраические фракталы. Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.
Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.
Схоластические фракталы. Природные объекты, возникающие в результате сложных процессов случайного характера, часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:
1. траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
2. граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельборта о том, что ее размерность равна 4/3.
3. эволюции Шрамма-Лёвнера -- конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например в модели Изинга и перколяции.
4. различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введен случайный параметр. Плазма -- пример использования такого фрактала в компьютерной графике.
Фрактальная монотипия, или стохатипия -- направления в изобразительном искусстве, состоящие в получении изображения случайного фрактала Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. -- Ижевск: РХД, 2001,с.26 .
3. История возникновения фракталов
Заслуживает внимания тот факт, что появление фракталов (еще не получивших этого имени) в математической литературе около ста лет назад было встречено с прискорбной неприязнью, как это бывало и в истории развития многих других математических идей. Один известный математик, Шарль Эрмит, даже окрестил их монстрами. По крайней мере, общее мнение признало их патологией, представляющей интерес только для исследователей, злоупотребляющих математическими причудами, а не для настоящих ученых.
В результате усилий Бенуа Мандельброта такое отношение изменилось, и фрактальная геометрия стала уважаемой прикладной наукой. Мандельброт ввел в употребление термин фрактал, основываясь на теории фрактальной (дробной) размерности Хаусдорфа, предложенной в 1919 году. За много лет до появления его первой книги по фрактальной геометрии, Мандельброт приступил к исследованию появления монстров и других патологий в природе. Он отыскал нишу для имевших дурную репутацию множеств Кантора, кривых Пеано, функций Вейерштрасса и их многочисленных разновидностей, которые считались нонсенсом. Он и его ученики открыли много новых фракталов, например, фрактальное броуновское движение для моделирования лесного и горного ландшафтов, флуктуации уровня рек и биения сердца. С выходом в свет его книг приложения фрактальной геометрии стали появляться как грибы после дождя. Это коснулось как многих прикладных наук, так и чистой математики. Даже киноиндустрия не осталась в стороне. Миллионы людей любовались горным ландшафтом в фильме «Звездное переселение II: гнев хана», сконструированным с помощью фракталов Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. -- М.: Мир 1993,с.45 .
Французский математик Анри Пуанкаре инициировал исследования в области нелинейной динамики около 1890 года, что привело к появлению современной теории хаоса. Интерес к предмету заметно увеличился, когда Эдвард Лоренц, занимавшийся нелинейным моделированием погоды, в 1963 году обнаружил невозможность долгосрочных прогнозов погоды. Лоренц заметил, что даже ничтожные ошибки при измерении параметров текущего состояния погодных условий могут привести к абсолютно неправильным предсказаниям о состоянии погоды в будущем. Эта существенная зависимость от начальных условий лежит в основе математической теории хаоса.
Траектории частиц броуновского движения, которым занимались Роберт Броун еще в 1828 году и Альберт Эйнштейн в 1905 году, представляют собой пример фрактальных кривых, хотя их математическое описание было дано только в 1923 году Норбертом Винером. В 1890 году Пеано сконструировал свою знаменитую кривую -- непрерывное отображение, переводящее отрезок в квадрат и, следовательно, повышающее его размерность с единицы до двойки. Граница снежинки Коха (1904 год), чья размерность d » 1,2618, -- это еще одна хорошо известная кривая, повышающая размерность.
Фрактал, никоим образом не похожий на кривую, который Мандельброт назвал пылью -- это классическое множество Кантора (1875 или ранее). Это множество настолько разрежено, что оно не содержит интервалов, но, тем не менее, имеет столько же точек, сколько интервал. Мандельброт использовал такую «пыль» для моделирования стационарного шума в телефонии. Фрактальная пыль того или иного рода появляется в многочисленных ситуациях. Фактически, она является универсальным фракталом в том смысле, что любой фрактал -- аттрактор системы итерированных функций -- представляет собой либо фрактальную пыль, либо ее проекцию на пространство с более низкой размерностью Пайтген Х.-О., Рихтер П., с. 22 .
Различные древовидные фракталы применялись не только для моделирования деревьев-растений, но и бронхиального дерева (воздухоносные ветви в легких), работы почек, кровеносной системы и др. Интересно отметить предположение Леонардо да Винчи о том, что все ветки дерева на данной высоте, сложенные вместе, равны по толщине стволу (ниже их уровня). Отсюда следует фрактальная модель для кроны дерева в виде поверхности-фрактала.
Многие замечательные свойства фракталов и хаоса открываются при изучении итерированных отображений. При этом начинают с некоторой функции у = /(х) и рассматривают поведение последовательности f(х), f(f(х)), f(f(f(x))),... В комплексной плоскости работы такого рода восходят, по всей видимости, к имени Кэли, который исследовал метод Ньютона нахождения корня в приложении к комплексным, а не только вещественным, функциям (1879). Замечательного прогресса в изучении итерированных комплексных отображений добились Гастон Жюлиа и Пьер Фату (1919). Естественно, все было сделано без помощи компьютерной графики. В наши дни, многие уже видели красочные постеры с изображением *множеств Жюлиа и множества Мандельброта, тесно с ними связанного. Освоение математической теории хаоса естественно начать именно с итерированных отображений.
Изучение фракталов и хаоса открывает замечательные возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так и в области чистой математики. Но в то же время, как это часто случается в так называемой новой математике, открытия опираются на пионерские работы великих математиков прошлого. Сэр Исаак Ньютон понимал это, говоря: «Если я и видел дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов».
4. Применение фракталов
Компьютерная графика
Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и т. д.
Физика и другие естественные науки
В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные случайные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Также фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).
Литература
Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:
1. Неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественные самим себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»).
2. Неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был веселый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»).
3. В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна
4. Венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений).
5. «Рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи», Я. Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагоссе»).
6. Предисловия, скрывающие авторство (У.Эко «Имя розы»).
В семантических и нарративных фракталах автор рассказывает о бесконечном подобии части целому
Х. Л. Борхес «В кругу развалин»
Х.Кортасар «Жёлтый цветок»
Ж.Перек «Кунсткамера»
Фрактальные антенны.
Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.
Сжатие изображений.
Существуют алгоритмы для сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо изображения можно хранить отображение сжатия, для которого это изображение является неподвижной точкой.
Децентрализованные сети.
Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.
Заключение
Большинство людей, считают, что фракталы, это лишь красивые картинки, которые услаждают глаз. К счастью, это не так, и фракталы применяются во многих областях деятельности человека. Уже существует теоретическая база для создания новых направлений их применения, такие как диагностика заболеваний, прогнозирование разрушений при динамическом ударе и многие другие. Но, несмотря на теоретическую неисчерпаемость использования фракталов, можно предположить, что со временем выделятся основные направления их применения.
Прошло всего несколько десятилетий с тех пор, как Бенуа Мандельброт заявил: «Геометрия природы фрактальна!», на сегодняшний день мы уже можем предположить намного больше, а именно, что фрактальность - это первоочередной принцип построения всех без исключения природных объектов.
Выводы:
1. Природа фракталов тщательно изучается учеными
2. В будущем с помощью фракталов будут решены многие проблемы в медицине, в компьютерной индустрии, в науке и т.д.
Список использованной литературы
фрактал естественный графика
1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. -- М.: Институт компьютерных исследований, 2002.
2. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. -- М.: Мир, 1993.
3. Федер Е. Фракталы-М.: Мир,1991.
4. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. -- Ижевск: РХД, 2001.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Фрактал как множество, размерность которого отличается от обычной размерности, называемой топологической. Принципы и условия формирования соответствующей системы согласно исследованиям Мандельброта. Типы и значение фракталов, главные этапы их эволюции.
контрольная работа , добавлен 19.02.2015
Суть современных концепций относительности пространства и времени в специальной и общей теориях. Гиперхронологическое историческое пространство, ускорение исторического времени. Раскрытие понятий бифуркаций, фракталов, аттракторов, факторов случайности.
контрольная работа , добавлен 10.12.2009
Гуманитарный, технический, математический типы знания и естествознание в современной системе знания. Роль и значение математики и физики в познании мира. Отношение к природе в естественных и гуманитарных науках. Проблема противостояния науки и религии.
реферат , добавлен 26.11.2011
Развитие естественных наук в средние века, место и роль церкви в государстве. Построение теории строения атома на основе планетарной модели. Развитие астрономии, характеристики галактик. Теории возникновения жизни на Земле. Гипотезы происхождения рас.
контрольная работа , добавлен 14.09.2009
Гиппократ как основоположник современной клинической медицины. Заслуга ученых античности в развитии естественных наук. Содержание основных законов диалектики, применение диалектических методов исследования. Закон перехода количества в качество.
контрольная работа , добавлен 03.04.2011
Синергетика как теория самоорганизующихся систем в современном научном мире. История и логика возникновения синергетического подхода в естествознании. Влияние этого подхода на развитие науки. Методологическая значимость синергетики в современной науке.
реферат , добавлен 27.12.2016
Общая характеристика бактерий. Их строение, размножение и питание. Понятие о природных ресурсах и их характеристика. Строение и значение пищеварительной системы. Экономическая классификация природных ресурсов. Строение стенки пищеварительного канала.
контрольная работа , добавлен 09.10.2012
Тенденции развития сферы промышленности, энергетики, народного хозяйства в настоящее время. Преобразования в области науки. Последствия развития биотехнологий, разработок в естественных науках. Химические процессы и энергетика. Сохранение озонового слоя.
реферат , добавлен 18.11.2009
Применене принципа абсолютной объективности и определенности эмпирических данных в квантовой физике. Использование циркуля и линейки в евклидовой геометрии. Анализ периодической системы химических элементов Д.И. Менделеева. Свойсива точки бифуркации.
контрольная работа , добавлен 12.06.2015
Понятие о биоэлектрических явлениях. Возникновение современной мембранной теории возбуждения. Основные виды биоэлектрических потенциалов, механизм их возникновения и применение в медико-биологических лабораториях, в клинической практике при диагностике.
Выполнила ученица 7 класса Карпюк Полина
Приода создана из самоподобных офигур, просто мы этого не замечаем. В этой галерее мы собрали образы, в которых ясно видна фрактальность.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Фракталы в природе Выполнила: ученица 7 «Б» класса Карпюк Полина Руководитель: Молчанова Ирина Павловна Рубцовск-2015
Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту. Бертранд Рассел
Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них - еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Похожим образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них - мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Это свойство объектов американский математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты - фракталами. Само слово «фрактал» с латыни переводится как "частичный", "разделенный", "раздробленный", а что касается содержания этого термина, то формулировки как таковой не существует. Обычно его трактуют как самоподобное множество, часть целого, которая повторяется своей структурой на микроуровне. .
Космические фотографии земных ландшафтов часто дают отличные примеры фракталов.
Береговые линии обычно имеют фрактальную форму, но различаются степенью своей изрезанности. На этом примере видны два характерных свойства природных фракталов: Отдельные протоки не являются копией друг друга, но имеют аналогичные криволинейные очертания, будто они нарисованы одним лекалом. Большие протоки аналогичны по очертаниям маленьким и очень маленьким протокам. Если мы увеличим, например, нижний левый угол картинки, мы получим нечто похожее на всю картинку целиком
Взаимодействие воды и земли порождает фрактальные структуры ландшафтов - будь то горы, реки или побережья.
Наверное, каждый знает картину японского художника Хокусаи "Большая волн\", там волна цунами изображена на фоне Фудзиямы. Если вглядываться в эту картину, то обращаешь внимание, что художник рисуя гребень волны использовал фрактал, как бы состоящий из многочисленных хищных водяных лап. Поэтому часто эту картину используют в качестве иллюстрации к книгам по теории хаоса, фракталам.
Когда песчаная дюна размывается водой, в крошечных масштабах повторяется то, что придает фрактальную форму большим земным ландшафтам.
Разряд молнии-один из примеров природных фракталов.
Эта картинка иллюстрирует не только фрактальность крон деревьев, она наводит на еще одно интересное соображение: лес как биологическое сообщество также является фракталом. Отдельные деревья - большие и маленькие - выступают тогда в качестве ветвей фрактала. Они похожи, но не повторяют друг друга.
Прожилки листьев - плоский природный фрактал. Для каждого растения характерный рисунок уникален, как уникален папиллярный рисунок на руке человека. Гете (поэт и ученый) считал, что лист - самая выразительная часть растения, в которой отражается вся его морфология.
Папортники - пример природных фракталов, которые очень похожи на компьютерные фракталы. При этом они еще интересны тем, что папортники - одни из самых эволюционно древних растений, наряду с различными мхами и прочими низшими растениями
Это еще один знаменитый и очень впечатляющий пример природного фрактала, который обладает математически четкими формами. Прослеживается как минимум три уровня самоподобных хитроумных пирамидок Капуста романеско
Волшебно красивый фрактал, который бы вполне мог вдохновить какого-нибудь художника. А между тем, приглядитесь: это всего лишь тугой пучок капустных листьев.
Это любопытные примеры фрактальной структуры в минеральном мире. Карбонат-апатит Золотой самородок - изысканное сокровище, изготовленное самой природой.
Вы задумывались когда-нибудь, что мы буквально мыслим фракталами? Тут есть о чем задуматься – кто будет спорить, что мозг – одно из самых удивительных и уникальных творений природы. И оказывается, он внешне имеет те же фрактальные признаки, что и атмосферная облачность или корневая система крапивы.
Тут еще все сложнее: переплетаются два отдельных фрактальных дерева - по одному подается венозная кровь, по другому отводится обогащенная кислородом артериальная. А в совокупности легкое - потрясающая по сложности система трех фракталов - одного дыхательного и двух кровеносных.
Сетчатка содержит светочувствительные клетки, благодаря которым мы видим. На этом снимке они желтовато-зеленые. Они действительно образуют сеть (сетчатку), но эта сеть хаотична и фрактальна.
Это живот свиньи. Пятна его окраса, кажется, тоже подчиняются фрактальным правилам. Это интересная тема и, главное, имеет массу применений, в том числе имеет и военное значение. По каким правилам должен составляться рисунок камуфляжа, чтобы его носитель сливался с природными формами - ландшафта и растительности?
Спасибо за внимание!!!
Фракталы в природе
Фрактал (лат. fractus — дробленый) — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с идеальной геометрией и такой гармонией,что просто замираешь от восхищения.
От гигантских гор,до того,что мы кушаем за обедом, везде можно увидеть идеальную гармонию
Морские раковины
Nautilus является одним из наиболее известных примеров фрактала в природе.
Снежинки
Молнии
Молнии ужасают и пугают и одновременно восхищают своей красотой. Фракталы созданные молнией не произвольны и не регулярны
Романессу
Это особый вид брокколи, крестоцветный и вкусный двоюродный брат капусты - является особенно симметричным фракталом. Можете егоприготовить для своего любимого учителя по математике.
Папоротник
Папоротник является хорошим примером фрактала среди флоры
Кружева королевы Анны
Дикая морковь Queen Anne’s Lace прекрасный пример цветочного фрактала. Каздое созветие копируется точно таким же только меньше. Фото сделано снизу чтобы разглядеть это во всей красе.
Брокколи
Хоть броколли не так лихо геометрична как романессу, но тоже фрактальна.
Павлин
Павлины всем известны своим красочным опереньем, в котором спрятаны сплошные фракталы. Видели павлина альбиноса хоть раз? Смотрите
Ананас
Ананас - необычный плод это есть, фактически, фрактал. Хоть он часто связывается с Гавайями, плод - уроженец южной Бразилии.
Облака
Посмотрите сейчас в окно. Практически в любой момент вы можете увидеть фракталы на небе.
Кристалы
Лёд,морозные узоры на окнах это тоже фракталы
Горы
Горные расселины,береговые линии хоть и произвольны по линиям,но так же фрактальны
Деревья и листья
От увеличенного изображения листочка, до ветвей дерева - во всём можно обнаружить фракталы
Береговая линия
Отдельные фрагменты побережья создают фрактальность. И это Флорида
Реки и фьёрды
От запада Соединённых Штатов Америки до ледяных фьёрдов Норвегии - всё это могут увидеть авиапассажиры. А некоторых благодарим за то,что сообразили сфотографировать такую красоту.
Морские ежи и морские звёзды
Морские ежи - такие маленькие и компактные,будто вышли из-под руки искуссного ювелира. Но кто превзойдёт природу? А морские звёзды словно отражение небесных
Сталагмиты и сталактиты
В то время как сталагмиты поднимаются с земли,сталактиты тянутся к ней
Как был открыт фрактал
Математические формы, известные как фракталы, принадлежат гению выдающегося ученого Бенуа Мандельброта. Большую часть жизни он преподавал математику в Йельском университете США. В 1977 - 1982 годах Мандельброт опубликовал научные труды, посвященные изучению «фрактальной геометрии» или «геометрии природы», в которых разбивал на первый взгляд случайные математические формы на составные элементы, оказавшиеся при ближайшем рассмотрении повторяющимися, - что и доказывало наличие некого образца для копирования. Открытие Мандельброта возымело весомые последствия в развитии физики, астрономии и биологии.
Фракталы в природе
В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты, например: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная и альвеолярная системы человека и животных, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру, побережья (фрактальная концепция позволила ученым измерить береговую линию Британских островов и другие, ранее неизмеримые, объекты).
Рассмотрим строение цветной капусты. Если разрезать один из цветков, очевидно, что в руках остаётся всё та же цветная капуста, только меньшего размера. Можно продолжать резать снова и снова, даже под микроскопом - однако все, что мы получим - это крошечные копии цветной капусты. В этом простейшем случае даже небольшая часть фрактала содержит информацию обо всей конечной структуре.
Фракталы в цифровой технике
Фрактальная геометрия внесла неоценимый вклад в разработку новых технологий в области цифровой музыки, а так же сделала возможной сжатие цифровых изображений. Существующие фрактальные алгоритмы сжатия изображения основаны на принципе хранения сжимающего изображения вместо самой цифровой картинки. Для сжимающего изображения основная картинка остаётся неподвижной точкой. Фирма «Microsoft» использовала один из вариантов данного алгоритма при издании своей энциклопедии, но по тем или иным причинам широкого распространения эта идея не получила.
В математической основе фрактальной графики лежит фрактальная геометрия, где в основу методов построения «изображений-наследников» помещён принцип наследования от исходных «объектов-родителей». Сами понятия фрактальной геометрии и фрактальной графики появилось всего около 30 лет назад, но уже прочно вошли в обиход компьютерных дизайнеров и математиков.
Базовыми понятиями фрактальной компьютерной графики являются:
- Фрактальный треугольник - фрактальная фигура - фрактальный объект (иерархия в порядке убывания)
- Фрактальная прямая
- Фрактальная композиция
- «Объект-родитель» и «Объект наследник»
Также как в векторной и трёхмерной графике, создание фрактальных изображений математически вычисляемо. Главное отличие от первых двух видов графики в том, что фрактальное изображение строится по уравнению или системе уравнений, - ничего кроме формулы в памяти компьютера для выполнения всех вычислений хранить не нужно, - и такая компактность математического аппарата позволила использование этой идеи в компьютерной графике. Просто изменяя коэффициенты уравнения, можно с лёгкостью получить совершенно иное фрактальное изображение - при помощи нескольких математических коэффициентов задаются поверхности и линии очень сложной формы, что позволяет реализовать такие приёмы композиции, как горизонтали и вертикали, симметрию и асимметрию, диагональные направления и многое другое.
Как построить фрактал?
Создатель фракталов выполняет роль художника, фотографа, скульптора, и ученого-изобретателя одновременно. Какие предстоят этапы работы сотворения рисунка «с нуля»?
- задать форму рисунка математической формулой
- исследовать сходимость процесса и варьировать его параметры
- выбрать вид изображения
- выбрать палитру цветов
Среди фрактальных графических редакторов и прочих графических программ можно выделить:
- «Art Dabbler»
- «Painter» (без компьютера ни один художник никогда не достигнет заложенных программистами возможностей лишь посредством с помощью карандаша и пера кисти)
- «Adobe Photoshop» (но здесь изображение «с нуля» не создается, а, как правило, только обрабатывается)
Рассмотрим устройство произвольной фрактальной геометрической фигуры. В её центре находится простейший элемент - равносторонний треугольник, получивший одноимённое название: «фрактальный». На среднем отрезке сторон построим равносторонние треугольники со стороной, равной одной трети от стороны исходного фрактального треугольника. По тому же принципу строятся ещё более мелкие треугольники-наследники второго поколения - и так до бесконечности. Объект, который в результате получился, называется «фрактальной фигурой», из последовательностей которой получаем «фрактальную композицию».
Источник: http://www.iknowit.ru/
Фракталы и древние мандалы
В принципе, мандала — это геометрический символ сложной структуры, который интерпретируется как модель Вселенной, «карта космоса». Вот и первый признак фрактальности!
Их вышивают на ткани, рисуют на песке, выполняют цветными порошками и делают из металла, камня, дерева. Яркий и завораживающий вид, делает её красивым украшением полов, стен и потолков храмов в Индии. На древнем индийском языке «мандала» обозначает мистический круг взаимосвязи духовных и материальных энергий Вселенной или по-другому цветок жизни.
Мне хотелось написать обзор о фрактальных мандалах совсем небольшим, с минимумом абзацев, показав, что взаимосвязь явно существует. Однако, пытаясь найти осознать и связать информацию о фракталах и мандалах в единое целое, у меня было ощущение квантового скачка в неизвестное мне пространство.
Демонстрирую необъятность этой темы цитатой: ”Такие фрактальные композиции или мандалы могут использоваться как в виде картин, элементов дизайна жилого и рабочего помещения, носимых амулетов, в форме видеокассет, компьютерных программ…” В общем, тема для исследования фракталов просто огромнейшая.
Одно я могу сказать точно, мир гораздо разнообразнее и богаче, чем убогие представления нашего ума о нем.
Фрактальные морские животные
Мои догадки о фрактальных морских животных были не беспочвенны. Вот и первые представители. Осьминог - морское придонное животное из отряда головоногих.
Взглянув на эту фотографию, мне стало очевидно фрактальное строение его тела и присосок на всех восьми щупальцах этого животного. Присосок на щупальцах взрослого осьминога достигает до 2000.
Интересен то факт, что у осьминога три сердца: одно (главное) гонит голубую кровь по всему телу, а два других — жаберных — проталкивают кровь через жабры. Некоторые виды этих глубоководных фракталов ядовиты.
Приспосабливаясь и маскируясь под окружающую среду, осьминог обладает весьма полезной способностью изменять окраску.
Осьминогов считают самыми «умными» среди всех беспозвоночных. Узнают людей, привыкают к тем, кто их кормит. Интересно было бы посмотреть на осьминогов, которые легко поддаются дрессировке, имеют хорошую память и даже различают геометрические фигуры. Но век этих фрактальных животных недолог - максимум 4 года.
Человек использует чернила этого живого фрактала и других головоногих. Они пользуются спросом у художников за их стойкость и красивый коричневый тон. В средиземноморской кухне осьминог является источником витаминов B3, B12, калия, фосфора и селена. Но я думаю, что этих морских фракталов нужно уметь готовить, чтобы получать удовольствие от их употребления в виде пищи.
Кстати, нужно заметить, что осьминоги - хищники. Своими фрактальными щупальцами они удерживают жертву в виде моллюсков, ракообразных и рыбы. Жаль, если пищей этих морских фракталов становится вот такой красивый моллюск. По-моему, тоже типичный представитель фракталов морского царства.
Это родственник улиток, брюхоногий голожаберный моллюск Главк, он же Глаукус, он же Glaucus atlanticus, он же Glaucilla marginata. Это фрактал еще и необычен тем, что живет и передвигается под поверхностью воды, удерживаясь за счет поверхностного натяжения. Т.к. моллюск является гермафродитом, то после спаривания оба "партнера" откладывают яйца. Этот фрактал встречается во всех океанах тропического пояса.
Фракталы морского царства
Каждый из нас хотя бы раз в жизни держал в руках и с неподдельным детским интересом рассматривал морскую раковину.
Обычно раковины являются красивым сувениром, напоминающим о поездке на море. Когда смотришь на это спиралевидное образование беспозвоночных моллюсков, нет никаких сомнений в его фрактальной природе.
Мы, люди, чем-то напоминаем этих мягкотелых моллюсков, обитая в благоустроенных бетонных домах-фракталах, помещая и перемещая свое тело в быстрых автомобилях.
Еще одни типичнейшим представителем фрактального подводного мира является коралл.
В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов, в палитре которых различают до 350 цветовых оттенков.
Коралл - это материал скелета колонии коралловых полипов, тоже из семейства беспозвоночных. Их огромные скопления образуют целые коралловые рифы, фрактальный способ образования которых очевиден.
Коралл с полной уверенностью можно назвать фракталом из морского царства.
Он также используется человеком в виде сувенира или сырья для ювелирных изделий и украшений. Но повторить красоту и совершенство фрактальной природы очень сложно.
В очередной раз, исполняя ритуал на кухне с ножом и разделочной доской, а потом, опустив нож в холодную воду, я вся в слезах в очередной раз придумывала, как бороться со слезоточивым фракталом, который практически ежедневно появляется на моих глазах.
Принцип фрактальности тот же, что и у знаменитой матрешки - вложенность. Именно поэтому фрактальность замечается не сразу. К тому же, светлый однородный окрас и его природная способность вызывать неприятные ощущения не способствуют пристальному наблюдению за мирозданием и выявлению фрактальных математических закономерностей.
А вот салатный лук сиреневого цвета в силу своего окраса и отсутствия слезоточивых фитонцидов навел на размышления о природной фрактальности этого овоща. Конечно, фрактал он незамысловатый, обычные окружности разного диаметра, можно даже сказать примитивнейший фрактал. Но не мешало бы вспомнить, что шар считается идеальной геометрической фигурой в пределах нашей Вселенной.
О полезных свойствах лука в Интернете опубликовано немало статей, но как-то никто не пытался изучать этот природный экземпляр с точки зрения фрактальности. Я могу только констатировать факт полезности применения фрактала в виде лука на своей кухне.
P.S. А овощерезку для измельчения фрактала я уже приобрела. Теперь придется поразмышлять, насколько фрактален такой полезный овощ, как обычная белокачанная капуста. Тот же принцип вложенности.
Фракталы в народном творчестве
Мое внимание привлекла история всемирно известной игрушки «Матрешка». Присмотревшись внимательней, с уверенностью можно сказать, что эта игрушка-сувенир - типичный фрактал.
Принцип фрактальности очевиден, когда все фигурки деревянной игрушки выстроены в ряд, а не вложены друг в друга.
Мои небольшие исследования истории появления этого игрушечного фрактала на мировом рынке показали, что корни у этой красавицы - японские. Матрешка всегда считалась исконно русским сувениром. Но оказалось, что она прототип японской фигурки старика-мудреца Фукурума, привезенного когда-то в Москву из Японии.
Но именно российский игрушечный промысел принес этой японской фигурке мировую славу. Откуда возникла идея фрактальной вложенности игрушки, лично для меня, так и осталось загадкой. Скорей всего автор этой игрушки использовал принцип вложенности фигурок друг в друга. А самый простой способ вложения - это подобные фигурки разных размеров, а это уже - фрактал.
Не менее интересный объект исследования представляет собой роспись игрушки-фрактала. Это декоративная роспись - хохлома. Традиционные элементы хохломы - это травяные узоры из цветов, ягод и веток.
Снова все признаки фрактальности. Ведь один и тот же элемент можно повторять несколько раз в разных вариантах и пропорциях. В итоге получается народная фрактальная роспись.
И если новомодной росписью компьютерных мышек, крышек ноутбуков и телефонов никого уже не удивишь, то фрактальный тюнинг автомобиля в народном стиле - это что-то новое в автодизайне. Остается только удивляться проявлению мира фракталов в нашей жизни таким необычным образом в таких обычных для нас вещах.
Фракталы на кухне
Типичный представитель фрактала из растительного мира красовался на моем кухонном столе.
При всей моей любви к цветной капусте мне все время попадались экземпляры с однородной поверхностью без видимых признаков фрактальности, и даже большое число соцветий, вложенных друг в друга, не давали мне повода увидеть в этом полезном овоще фрактал.
Но поверхность именно этого экземпляра с явно выраженной фрактальной геометрией не оставляла ни малейшего сомнения во фрактальном происхождении этого вида капусты.
Очередной поход в гипермаркет только подтвердил фрактальный статус капусты. Среди огромного числа экзотических овощей красовался целый ящик с фракталами. Это была Романеску, или романская брокколи, цветная коралловая капуста.
Оказывается, дизайнеры и 3D-художники восторгаются ее экзотическими формами, похожими на фракталы.
Капустные почки нарастают по логарифмической спирали. Первые упоминания о капусте романеску пришли из Италии 16-го века.
А капуста броколли совсем не частая гостья в моем рационе, хотя по содержанию полезных веществ и микроэлементов она превосходит цветную капусту в разы. Но ее поверхность и форма настолько однородны, что мне никогда не приходило в голову увидеть в ней овощной фрактал.
Фракталы в квиллинге
Увидев ажурные поделки в технике квиллинг, меня никогда не покидало ощущение, что что-то они мне напоминают. Повторение одних и тех же элементов в разных размерах - конечно же, это принцип фрактальности.
Посмотрев очередной мастер-класс по квилингу, не осталось даже сомнений в фрактальности квиллинга. Ведь для изготовления различных элементов для поделок из квиллинга используется специальная линейка с окружностями разного диаметра. При всей красоте и неповторимости изделий, это - невероятно простая техника.
Почти все основные элементы для поделок в квиллинге делаются из бумаги. Чтобы запастись бумагой для квиллинга бесплатно, проведите дома ревизию своих книжных полок. Наверняка, там вы обнаружите пару-тройку ярких глянцевых журналов.
Инструменты для квиллинга просты и недороги. Все что вам необходимо для выполнения любительских работ в стиле квиллинг, вы можете найти среди своих домашних канцелярских принадлежностей.
А история квиллинга начинается в 18 веке в Европе. В эпоху Ренессанса монахи из французских и итальянских монастырей с помощью квиллинга украшали книжные обложки и даже не подозревали о фрактальности изобретенной ими техники бумагокручения. Девушки из высшего общества даже проходили курс по квиллингу в специальных школах. Вот так эта техника начала распространяться по странам и континентам.
Этот мастер-класс видео квиллинг по изготовлению роскошного оперения можно даже назвать "фракталы своими руками". С помощью фракталов из бумаги получаются чудесный эксклюзивные открытки-валентики и много разных других интересных вещей. Ведь фантазия, как и природа неисчерпаема.
Ни для кого не секрет, что японцы по жизни сильно ограничены в пространстве, в связи с чем, им приходится всячески изощряться в эффективном его использовании. Такеши Миякава показывает, как это можно делать одновременно эффективно и эстетично. Его фрактальный шкаф подтверждение тому, что использование фракталов в дизайне - это не только дань моде, но и гармоничное конструкторское решение в условиях ограниченного пространства.
Этот пример использования фракталов в реальной жизни, применительно к дизайну мебели показал мне, что фракталы реальны не только на бумаге в математических формулах и компьютерных программах.
И, похоже, что принцип фрактальности природа использует повсеместно. Только нужно присмотреться к ней внимательней, и она проявит себя во всем своем великолепном изобилии и бесконечности бытия.
